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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^{2lAm"&C  
h scSw}6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. B)7n e'  
Bb7-?G=8l  
　　1、三角函数本质： T`/v3B  
zNsV7lj/  
　　三角函数的本质来源于定义 Xl:: !2%U  
U!]+u0%3!R  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 x%,0;j](  
DoMF(-G/  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0 J!q6,m"  
ElyF]Q5-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： =>CvV/O;&  
gN(L=  
　　推导： 6, IRcRa*  
a5R2(\B9d  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 q"@<&n!  
TM;_=  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4p;.S5L3  
t5.4"e]  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) f?eV#Ok=>  
V0a%?k+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 _)9$=V  
f42E  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Rxo@U 9  
43 "KNdR  
　　[1] 9eHV09"xrf  
W`30['K#y  
　　两角和公式 =*9wJ*m  
HSrsT^cMe  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'n'x?Lfa  
`o$?eC4Jp  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  wLVRonzIDS  
k"^5t4"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB !<(H;-bw  
1 J{tU}?~  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB VRJf/N  
FW>%NJ?iO[  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) `>9%&CPt:  
t fJ5L3  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) o@g5b Q  
& @(ryb  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  --]TxD$O  
05K< })<Zh  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6igR/:~]\  
%HoW[]_:,  
倍角公式 -Q-$Ix/  
=2icpBrg  
　　Sin2A=2SinA•CosA 3b%\S1  
)O<w,DB:  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1/=Yv%  
9H L2#(5!n  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #!_O G[  
Y7u ^ g{|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Y qgc*7  
Uppd4 g   
三倍角公式 J6Q56}k  
Q$h2p6Ksyr  
　　 -Ha$hR  
>yPo *(HJp  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) *^7b\tJ?  
QFx<3w~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) I ~," T3  
p YQ [3S  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 4rP. _V7  
ZKc=V5$  
三倍角公式推导 PL&jRbrzFq  
Ah$aCTA+  
　　sin3a {*y{ueW}  
R`'> PY  
　　=sin(2a+a) GLNGYE3Lg  
25+!SpQw  
　　=sin2acosa+cos2asina 5Wi*Y,q  
en&",_a8;  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -- 9f`kd  
Fgo$[tg  
　　=3sina-4sin³a B@W:^"<Vr  
yLV<2u:  
　　cos3a W =9DH2  
oDAdswIu=g  
　　=cos(2a+a) " 7^S/  
rWZe-E   
　　=cos2acosa-sin2asina 2o+u&>xd  
 Dx\-"|  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa FMyvd  
-{;.>X[x  
　　=4cos³a-3cosa &!/@/jH  
KI`fUxOzq  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^r TChKN  
8sv1X ,   
　　=4sina(3/4-sin²a) Q,pZQ>  
?l(6w)  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] OP^KQ,  
&oZk6g/P  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Q>Wi-pM  
CQQQGf4  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m]k|<{JN  
_){Gx+nK  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1[!qO>$P  
| ;o~lU  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ua;eJE  
EB`bkvi  
　　cos3a=4cos³a-3cosa vw>mpi1h26  
p LuBp\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) n3;;{$$v<.  
#Lz OhJ#  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] motdTieY=  
9IcB:7;b  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) E9YruQ47  
^gW$    
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  a`TbdVa  
3t</&X=  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #IsZm%x  
@nF l-z  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) JO1A/vP  
"O*z{zL~4B  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] dN\zpCwiN>  
G (VFh/  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] <r|o\~|\s  
fe ^%;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) r&|s0rT  
;!_6/?v~W  
　　上述两式相比可得 jt}9|G)B  
mXz5[!6  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +ZN?qy~%6  
G^U=H'7b  
半角公式 SW!?O[ Hm  
}KM. f  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); %e*\2O 7  
&mU_` 2k7w  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. '5O*!  
ey >$AJy  
和差化积 "|g7e  
4Tw~Y *  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q^xr=X(  
"`t\R:f"/Y  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DdW/<j;sYr  
="Ci91+  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] P%<2yp@  
6MbLY  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '5l:uK  
=,hE><Az0  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) #eNy   
/JZ,3T/8  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) _;}>WD9JJ{  
z 6o:qfD'  
积化和差 8QDO_  
N+:AHHO  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] qg"Aram])  
=93t[it  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :F OF7  
vj@eh  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] YZElD  
<y(PBbpP  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 3O SC<NK  
f/:#sv$  
诱导公式 )~*u-x/*  
0z7_[?*Lp  
　　sin(-α) = -sinα tqE-@4j2  
;5L[LX  
　　cos(-α) = cosα BGByhB}  
PP"g: rq  
　　sin(π/2-α) = cosα !q)J8X%="  
~In  [xJ!  
　　cos(π/2-α) = sinα Oa7aX_Xe>  
oVC+L'Fs  
　　sin(π/2+α) = cosα JyO8e mi  
LtsqS$oD  
　　cos(π/2+α) = -sinα !d,K'aq5[  
=N1b5{qt  
　　sin(π-α) = sinα bGMs/En  
'U= F*.BT  
　　cos(π-α) = -cosα .jo/?GU#t  
>D *rQhI  
　　sin(π+α) = -sinα m.). ]  
1%|-Se'@  
　　cos(π+α) = -cosα 1Z^\6  
$ud3w,c:  
　　tanA= sinA/cosA ?Eg# ]*c -  
T!{ j85  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα  tqYK'd1  
Uka&Ne8  
　　tan（π/2－α）＝cotα 5-4"8-&m!z  
gQ TFA,Zs  
　　tan（π－α）＝－tanα R\iac  
'cIU MA0  
　　tan（π＋α）＝tanα &pF!"h^I  
UDMA16GfN  
万能公式 S, Xu  
1O2 a])o  
　　 S)0?e[  
fb1[!  
其它公式 RtTGx+9hg  
)V3R#*"E  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  G >aQc  
TlMkFr mE  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 QuTn>^?|%  
7|`pOK;  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4 VO/E{pu  
C&p*OR*  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 8 {Tlu ?  
wrI$}uH40  
　　对于任意非直角三角形,总有 pW.=;J  
G yp j-8G  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC c3 _wy^`  
t.F,/=T#  
　　证: xiwzhVbt<  
20x8H+E#{  
　　A+B=π-C } 1&H%i=0  
4z f&X{7  
　　tan(A+B)=tan(π-C) :RpmZt4L  
jeY'k '{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) x(i5|(oP  
"spv;~2(  
　　整理可得 SZ;W\zao  
I0Bkox~O<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  DOo@8  
Y9LH0U  
　　得证 kt4I]]i  
D]$bk~"db  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 [>R<' q9  
]2cH5\!l  
其他非重点三角函数 4, a.OSu  
J8%o[#|  
　　csc(a) = 1/sin(a) MKo...Zii  
`+@E B?d9^  
　　sec(a) = 1/cos(a) _Irddu)G  
n p ^S (  
　　 -NK:+^uV  
 B-XP{J(  
双曲函数 ,aI]l}T  
F,H(8qb9o3  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G,[!OS4  
\)O?Fw  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 |d2%\i^s  
x*2t$S#jCU  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) o{el/2>~v  
M ]s8Q`Q>  
　　公式一： {8D2bImQ  
aC;w!+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： /@%ppF3SR  
R 91cP2x%M  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 2rl-6%k  
Yu<Tz\|  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^q OHE)^  
SZd$fm0?l'  
　　tan（kπ＋α）= tanα j%9YM\s  
WJ 4W6a3  
　　cot（kπ＋α）= cotα -y8U6 2?-  
Nl6wGiGuN  
　　公式二： huCJ1VYd  
ChTK&(Q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： TcP)(Xx  
S ALAU.}  
　　sin（π＋α）= -sinα ]W"\S<3  
m$q E1rd  
　　cos（π＋α）= -cosα Xl}6VnM  
!ML}E,!  
　　tan（π＋α）= tanα (} lLoQ@  
nyH;&pR.  
　　cot（π＋α）= cotα em9JZ$B`C  
4F;\070:}  
　　公式三： oPo/@ 3}1  
lJb  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： M38Bj}Ja  
K9KdN7`'  
　　sin（-α）= -sinα dI/n ya  
An!7BXgk  
　　cos（-α）= cosα Y1CbI1q  
^I.2=P Z  
　　tan（-α）= -tanα LssC 7c*wD  
O?AKWG/  
　　cot（-α）= -cotα VAM#?y  
;yeRT-  
　　公式四： %]k/Zh.b-  
PR iAX CI  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,M`AS^lAq  
&TTX \P  
　　sin（π-α）= sinα sh8L)O/l  
b%t(asE8  
　　cos（π-α）= -cosα a$GK.me<o  
oW`^2d&w  
　　tan（π-α）= -tanα zdCpm&Dev  
PIDIy02~0  
　　cot（π-α）= -cotα KTy<yX^9+  
)6[Is?l,B  
　　公式五： KWt):8N W  
=9gOl5Ta  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Dr2/O<:  
2"FD}`'x  
　　sin（2π-α）= -sinα ie'sT  
0tz$EDbh  
　　cos（2π-α）= cosα ]&`F <*  
z #<0 +  
　　tan（2π-α）= -tanα :quZ%ghpSH  
3 qZa^#  
　　cot（2π-α）= -cotα f2 G%V  
eYsNiO  
　　公式六： LPxhdctX  
 jDvpq>  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： L<hA8+&  
9* s   
　　sin（π/2+α）= cosα W^] Mb$~  
\rWx_;m*  
　　cos（π/2+α）= -sinα 8%O  
=523l9gH  
　　tan（π/2+α）= -cotα dP4p/|YN5  
q&!E'408  
　　cot（π/2+α）= -tanα Nc/ , jl  
WnC$cD  
　　sin（π/2-α）= cosα y%h($"iE*T  
j&V(4xyL  
　　cos（π/2-α）= sinα 0:PM? 7*N  
Y"~w@vC  
　　tan（π/2-α）= cotα }nz:4[Hc  
EkT7eZ1rN  
　　cot（π/2-α）= tanα Ri3Y<uC]  
WDMTf[y Y  
　　sin（3π/2+α）= -cosα yh+grM  
x,^Anu]N  
　　cos（3π/2+α）= sinα `Z<*B*v=  
2 ]Dg&!  
　　tan（3π/2+α）= -cotα * cAS!  
q)*<kf=3  
　　cot（3π/2+α）= -tanα _H? Hu;f  
y1gvk ,Lw/  
　　sin（3π/2-α）= -cosα k%OPFgQc  
wy+Q/JH  
　　cos（3π/2-α）= -sinα -p> PS  
|ho0% )?  
　　tan（3π/2-α）= cotα IrhNgmJ  
*|S;*tf|G  
　　cot（3π/2-α）= tanα iYt5+ Z  
~3Pt B*j  
　　(以上k∈Z) "18T~:F  
Vie> l6  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 aD= /4I  
DHUXc<JTjC  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = GW^xn_16~  
7:ytB`%cJ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 8wUG{-j  
mvGEXJE:#  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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