三角函数内容规律 J1ur{J
O<cdQaY1
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3>WLL[eZ3Q
l`ggl3=q!
1、三角函数本质: 0(o&1]A
_T6Rt^[
三角函数的本质来源于定义 Nn2/f
CHLvl
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Q8mmG/'Jm
R+kA}Y*
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 %"|Ky3
0=1jD|pA
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: rAhI=J7
/'tVL b6
推导: vauoPUQ
x8A+/utS
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 y,S^je0?
dq-n
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) *,]Sz[;
m}6wnv`!B
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) `Wcz-O)
k+_ .
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &+]{zo^
S"Z&dv|.@*
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Uo7.r8Ue
sIUAz|.[
[1] Ac#~y@:
wL`KwmJI
两角和公式 NIAcuH
thrbLPRA
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 8e+t+uTt
.*fC&Z
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB anbMaU
O}s4j;Q
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 4j6E
vi
;=[_gpIh
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;Z
UBI-
5::R@]ja
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zO%aH|$F
:B"\w(
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `gfz1:"
CWrxYjr
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) yty_e
Nt
mV
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) PYZ:)87
ug+ S
倍角公式 ^?dmIZ
"*U"K`v
Sin2A=2SinA•CosA ?p@vWob
XHxxdo,G(
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~J,[6G'H
AU&[E
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) aH`WN3
W#UtpgA
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) _Q!b%{4&
.rH[Lh
三倍角公式 Wp0eYk#0b
Ww~'|z/=
Lq%r:z
ed[8Zw1w;H
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \)1qvzI<nh
7`w*H w
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) QYO}9Wq(
6ds{Y8*U-
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) YY{Iyv@
HgfI7^
三倍角公式推导 MB1StiBqqa
U`#!5
~&
sin3a gF=D|0hRC
h'sAD_J
=sin(2a+a) sRMw.B[
mNma<M&\l
=sin2acosa+cos2asina [EqoEL1
*y2Tf~xH
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina g(xK7^g
#2Wr;T^
=3sina-4sin³a 2Ubrg(({I
h\!=
cos3a mIk58IdLY
Z?isE:*=U
=cos(2a+a)
b 2E9
,:hoGGu
=cos2acosa-sin2asina (zsul&)@
~\rfL
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa uQjb*y7^
'6T|~u_p
=4cos³a-3cosa SK
^WaKQaq
aNV21kc
sin3a=3sina-4sin³a 21;6Z$#D
I,HvcnLin
=4sina(3/4-sin²a) GW,"8 *b
)otOmi
=4sina[(√3/2)²-sin²a] &;5BDSb;
6UPi+sC_Z
=4sina(sin²60°-sin²a) W
@zWaWt
QxgQ2*[_
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) do}mC$8
y4dG#I1
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] MmjB7MaJ~L
ee'hW~]t
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Z'b[`k
f
~_U
gL`
cos3a=4cos³a-3cosa i$7~{`yC
w{~i*b;J
=4cosa(cos²a-3/4) b[7nm_$
\2o^Sls
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] s$ H1u6
7U DVK=)A
=4cosa(cos²a-cos²30°) ";o<<U'&
1mI"&P9
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) !X#|A@g{
bZU<6_"
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Lp;}8W_x
APKplr
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Lh:,b 3u
3m4s+tI
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] w
yd'23
pO8-}v
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3{uqGMBWy2
(u-=1!$
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) m;%^
kS/.j
#qje)O|Z
上述两式相比可得 2V"%2a1\l
#byb]J|8
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %H
;;`z Q
9G95)a
半角公式 ?8q5n)?N
mv~/bA
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -Xque}R+v
i/F[@W[X@
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
cT$mE]#
uLq}@o&
和差化积 %"|W"TX
hnq {A283(
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] eCAy*Zp}
S!=?5"[W
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $ar_y
a
0p
s6T3G
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pUw5#-3:
w 4xvv d
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i(f?}[[#'P
"h7(H P.v
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1@"WL
g Zeuh0H
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) VG9eEz/D
+0t,yTJ{
积化和差 V/;CmrH
-J@2K:Y|<
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] [{_R
,]s+8D
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \'~={e{K
BR
T.yL
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] y_
ZMP
~
scNyuz%
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] P%G-f3_
jT>iLqV
诱导公式 ?[s?-J
''rc~dX^M
sin(-α) = -sinα <<[1Q^N
yt4),i+m
cos(-α) = cosα `F
!=
j <>M^eF
sin(π/2-α) = cosα +73H^.L{V
OM8A:6n
cos(π/2-α) = sinα TL:""W[CV
~_JV.,
sin(π/2+α) = cosα jU5SiMo'
s0r_>q
cos(π/2+α) = -sinα BCcg?s #
$dy6@wm
sin(π-α) = sinα vsHU- b
mrbP-0]
cos(π-α) = -cosα iy/\1Oe6x
]
80
h9y
sin(π+α) = -sinα `EMwk/<D
X`9Vj\4
cos(π+α) = -cosα .U9-Un
M4'R80
tanA= sinA/cosA &bbZ
VQ
^}])m.|
Dk
tan(π/2+α)=-cotα
x@{
CfI,^\G
tan(π/2-α)=cotα >8ke0LvWIa
Pd(P7
tan(π-α)=-tanα ZBFXP}2vT
A[}^~XfI#
tan(π+α)=tanα KOAm
}soC<-X
万能公式 7 ~#JdE
eC*Nfn|"]
E'PO%"INx
2#m,iF9~
其它公式 .(+SmMA
v
61?3`
(sinα)^2+(cosα)^2=1 %P"cp#d3l
rO+
]9Z
1+(tanα)^2=(secα)^2 s0bcd-
S3'u\m@(;h
1+(cotα)^2=(cscα)^2 H`ih"
#E&vKo+
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $lrr'~"
Ca"\V-bc
对于任意非直角三角形,总有 EQo]d9"I@(
!AyxO7xF6
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9|t%IFXsy
sCA^G3Rx
证: :T$EPFke`
CkdhN< .rC
A+B=π-C ITy#[#8_
mAZ(C[F]
tan(A+B)=tan(π-C) M ADnBxgk
u|M|(v:D@
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) K^<Dd(
6oUE>QM
整理可得 cPP4_5U0ad
.LA=xVyE
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V)60B/v
Algfyl}vS
得证 x'C8z~=
aQ,uC[*
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 t"7WW>g
9'L#N-$j
其他非重点三角函数 cS?! )SB
^@ GPkSl
csc(a) = 1/sin(a) B 3'HT\*
@o$%Z5dC
sec(a) = 1/cos(a) n0>WT>d
VHh`G
zRnp?J_
?WrF=Flp
双曲函数 nd {
7{(F
lDEZdv5A%
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 RxWcl
D);Fa
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 rpbEe-)!H
&.W*,
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Swfm,&
#a>p&
公式一: pHj
ap"=7
~26 L(~/=
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: NY%dZFwjT
0ulX^JBd
sin(2kπ+α)= sinα :7F3Ci
x(J
rE>[
cos(2kπ+α)= cosα u
>@s4C
$g
9;
H
tan(kπ+α)= tanα eT?:zGHU#k
T[5nCl?>
cot(kπ+α)= cotα pNob|
)~sku
公式二: m6eWm-
w
h:l;Qk8\
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: kBEv@~i
'V<A*
sin(π+α)= -sinα ZCRgK
XsBdMLna
cos(π+α)= -cosα t49g15
MD^58tN1
tan(π+α)= tanα Q 61@@g
!Sh<J pwF
cot(π+α)= cotα TnW$;ik
h!>"~g()V)
公式三: ~:E;c3
e]=/
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: c4bA2eL
)dy`g
sin(-α)= -sinα Qe4X.RFi
VDNL0V9
cos(-α)= cosα b3l_:!n
9K*fq
tan(-α)= -tanα 3Y=tzB??g
.#?sPeco
cot(-α)= -cotα hybt\y~gdw
w b>JM
公式四: *Z&f-k",
4>mH$5BkI
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
hKD/~Sk
r
aq=n% 2
sin(π-α)= sinα f?pFL
z\V:Na{l
cos(π-α)= -cosα bTzk#M*Bj
~c1cZs
tan(π-α)= -tanα 1](o/X7}
o
M9aove
cot(π-α)= -cotα b]9B_u<M]
=ah]~L a
公式五: "rp_eb?/D
O-.;
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: *s90kITO&
7Tiv
EZ
sin(2π-α)= -sinα k-$APS} Z
okfrXvs
cos(2π-α)= cosα ;>Y>@)J
}8wV3jT.K
tan(2π-α)= -tanα Y9}M'jGNsG
P])=',|O
cot(2π-α)= -cotα ,FLsfg|]A
Tw`'
公式六: YNSchsG+
@7kgr]:FkK
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 59!fL
9g
Xl"emiG9)
sin(π/2+α)= cosα 4bn8@xkWg
ituT76oh
cos(π/2+α)= -sinα }6x}gmkK?
#eO'!NR
tan(π/2+α)= -cotα gZ!nl>t
u |y,M2g2
cot(π/2+α)= -tanα 0b/P \E"Z
RI]b#a
sin(π/2-α)= cosα hLtQ kVy
anO&UX2 :
cos(π/2-α)= sinα V q7E,(`q\
Dz7d-B
u
tan(π/2-α)= cotα K7uEB]I4
]BMD/V_]
cot(π/2-α)= tanα OOku{vI}
eb+9}=K/
sin(3π/2+α)= -cosα 6B6nv&F
"H"HKeh1^$
cos(3π/2+α)= sinα kHe-7,
v+@<\Osc
tan(3π/2+α)= -cotα 1"PE)u
6=.[a
cot(3π/2+α)= -tanα U7bI=NhMC
~X5<r?+>
sin(3π/2-α)= -cosα L\3*0X_D>5
,7JQB
cos(3π/2-α)= -sinα `8aK {qv
<VI>!18ai
tan(3π/2-α)= cotα Tp1|<gnHv
eG>{c
5\
cot(3π/2-α)= tanα ;XFebk3`e
KwAS>'
(以上k∈Z) B!Ve3m<
-iO;Uo
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d-iqq
j(:]h1s,
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ;SzTEk00?
i)%~,
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #]+r?i?
'wmu<N
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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