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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 o| $)*(+?  
f4Jx04  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %N%-4+g8\  
" >H qX  
  1、三角函数本质: zA ^Z[b  
E 0TF_  
  三角函数的本质来源于定义 IER5%[{g`  
\D9PZ-Wn^  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 X(:\m ['  
8(3+Jxdx  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ]oGoGsL  
b f4;yYne  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: T!Y5-HykLw  
dyAlEvZ  
  推导: ^b>SN!  
 (? ZU+X8  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 RbDG32:  
W5-S{$o  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0c |3[FZ  
2   
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) TN<,l   
b->MnB,  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 7k,Nf&ge8  
<{-RA3,NY  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) mg `yc3K  
%S@mfTp  
  [1] __RK-~  
P2FHU #E 8  
  两角和公式 !:g^=yaH  
VJ*b@`g  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB *`@.uI  
^@2Bql}_  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  , dsQ`  
&d%Nr.JYC  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ?Z)\,Fe(  
6ZU Xv5 |  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zV: @Z'Q  
p+8&31  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M!7]@q)  
j[%yU7`  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >p 1zs  
yx'u*&  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  uN&@gj ]  
6S&4#A1TgB  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) /`mKmJ[j  
X%N-5I}0  
倍角公式 %F8>D7zw  
SRP /(;C  
  Sin2A=2SinA•CosA  TEDWup  
HdL%kI9p$  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 N U=#[2>  
7 c,.>]#  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 7 L$&c Z@  
}l},=^v  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 1"J(uD  
v-=o$Bfh1  
三倍角公式 D~SZ4(.  
@0oacC_n  
    n o  
]3=0(_  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) eqBLpw}qCp  
:0Rha u5 (  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -2:+9C#g  
VI Tg,Z8c  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) za;L#l{r  
#Tt}yz-aO  
三倍角公式推导 >%lV;  
qQ~Ws$fy  
  sin3a VBZyV;;d3  
{Wa2-Qr  
  =sin(2a+a) 4~bS !k  
mxwY^p';\  
  =sin2acosa+cos2asina h8{   
x @=){  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :4Y~}hJ?q  
nRt!O8w  
  =3sina-4sin³a ~HB3Pd  
U8 ow(bB  
  cos3a ;x3Z v  
D<J'ZDb  
  =cos(2a+a) Abn'!.  
NT/w8PW{'  
  =cos2acosa-sin2asina $\WPNWJoH  
GSZM.3K3  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa XCpBDA3.u  
CepL8+Q  
  =4cos³a-3cosa jHs`%~/p3  
}-t?=b  
  sin3a=3sina-4sin³a + HN&%98  
rE2Blyg  
  =4sina(3/4-sin²a) cU'Z;  
-E6A52W d  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] G>U4kj  
'`J+Lh@tu  
  =4sina(sin²60°-sin²a) f~Mw"M  
5IV&"*f  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) } xB8 0:v  
7'4A h  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2$;Xdqz/M  
FYdD<6:  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) )-V-'d6-  
; Kph>;ha  
  cos3a=4cos³a-3cosa M3-/3Io  
/h e=Wj  
  =4cosa(cos²a-3/4) H=#Zk  
Gok55M~D  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] 9s<@-`,4  
EL'..ER  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) ]xcc2xf^(  
!5B#Fu~  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Jp$[6`>v  
h-+0I^rXy  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~ p!}ppK  
@fGIl`[ G  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *>$sHgC>M  
v;kM6]tohN  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] F[k SVO  
9^K  3  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Jt\}..,s  
z`c7OD:'  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) t*xD8<do  
%|Mbo'?  
  上述两式相比可得 68vOdH-W  
oReI&6 -z  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) >Fw)"6t7x>  
?CteARy_  
半角公式 (K|3'  
MS$[~-wW  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,o 87M |  
iS*L6'X  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. b9o?F  
fel7%nA%  
和差化积 _"`&~)<{;  
5,F0nF>2  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?Uo;T #  
D:& >g4y  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1%ETj;c  
sgP8"wf;  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D7{"aA  
VRkrm\c4B  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P}MeFL  
C=HkJ@ 9g  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) l?-1'vkIl  
oZrD/H~k  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;z# W;t  
a d,H   
积化和差 6 pp%Tp  
w@ -6b+H  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] T~S<)G`}  
?${+vxl  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 3` o@`0"M  
aYJW m!  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] (uq" j  
(Jmgf[0  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *tEd!`R  
$%#5z#  
诱导公式 >2R<,+j5  
qL8[;`;y  
  sin(-α) = -sinα |PY$YT[   
[O+H._V  
  cos(-α) = cosα kdVb(s 9M  
FH5LrkYm  
  sin(π/2-α) = cosα EN%5j,rt  
x:gBj  
  cos(π/2-α) = sinα < mWB~[qv  
$gQ|>}DjZ  
  sin(π/2+α) = cosα 6n-O?8pc  
kvYIp#Y@_G  
  cos(π/2+α) = -sinα ;uv}3'ZC  
s/hzy<  
  sin(π-α) = sinα 2m^0!m32m  
3E}P]J5  
  cos(π-α) = -cosα A[h2y u  
J<3,)5   
  sin(π+α) = -sinα FU6$fB  
@n-}8moXa  
  cos(π+α) = -cosα a|S1 AQ)(  
m gMdg{~<j  
  tanA= sinA/cosA h$Z R!rFZ  
wnqe e~6  
  tan(π/2+α)=-cotα >z-|Ba<_  
Ynk{1*Z<,  
  tan(π/2-α)=cotα i~Qu)JK  
XQ`>HaWyq  
  tan(π-α)=-tanα )iG'U+E^  
1a6IER^F/  
  tan(π+α)=tanα +ZY*$fE  
U?:VB Ti  
万能公式 95g<Ndp Q  
Q3[ccnum  
   XT= J^Mw*  
}^AO \Sx  
其它公式 KR?36 N0  
:l.h8#4  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 6U&.[pN  
Zu!5.MO  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 J\Z<yn;:  
d=4u&97i(  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 6(X'M):#  
Y#*Zue   
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "}q"0K,Z4b  
HCkYB;  
  对于任意非直角三角形,总有 ^I-U]Q_?  
el*{.X  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $1[M  
{(^}_T  
  证: :BVp\D  
oIU=L"AFS  
  A+B=π-C ,lO? "sk  
eJ[7+<  
  tan(A+B)=tan(π-C) ]2Xs)vbG  
dTx&&BKQ  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 0~$ibtS0  
O?xKDo`j>  
  整理可得 DI_1nDcz.8  
r0 U}:s  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p|)`*:  
5 -{B6p  
  得证 +kYTk3nV  
_%]+%=(EI  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3 H%tZ  
R-$?oL  
其他非重点三角函数 5 H4!FL=yQ  
U,(B3[r  
  csc(a) = 1/sin(a) OiaIEBw  
_v}Q&7N*e  
  sec(a) = 1/cos(a) !);1-6+  
$ALM  
   B3PR*in  
SSFu&r)zY  
双曲函数 %(H] $  
I4N !QQ2X  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1ha9]1  
ORe K ;[N  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >slK}H#  
d;XtK;  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =?+jZ D y2  
zT&e?yU  
  公式一: 2/ylqe|%  
C&K*u X  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: K]\_3 _%l  
/bbh:$z+  
  sin(2kπ+α)= sinα ,p.~-|)  
"8 AlQ;  
  cos(2kπ+α)= cosα $= 8YsO  
6<+%5+KD)g  
  tan(kπ+α)= tanα #A0R*0DF  
gJ"9a_}i  
  cot(kπ+α)= cotα ?_^#h,1`-  
:cFp&k97  
  公式二: (8[PQ|;9  
.P&Nx^:-]  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: g9vq1!w  
8tpy{ 0`z  
  sin(π+α)= -sinα LV:~MlvL"#  
AQ"[Bn<  
  cos(π+α)= -cosα ?>tgMZ=  
6K<_b&!iT  
  tan(π+α)= tanα C?!w5+   
 *#+JaQF\  
  cot(π+α)= cotα ~|g|Ba+  
@qzSJX]9x  
  公式三: $_G)QYY4uW  
2uFbz96s  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: v`&p}\PC  
{lRH%KHt  
  sin(-α)= -sinα }$<GIPf  
q;6hWdj-  
  cos(-α)= cosα 'w_MCjI1i  
YRr O\  
  tan(-α)= -tanα T&*`>C.F  
Wn@@Q)fKa  
  cot(-α)= -cotα Wl.x$nO  
..G? !=  
  公式四: 5)Ly u  
&NNZf|Ub 8  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: eTuP45VaMw  
RZ-26,!%~  
  sin(π-α)= sinα HRCwu2]6  
lM+Q elZ  
  cos(π-α)= -cosα im4DL6E2  
p}|@6v\u  
  tan(π-α)= -tanα  !(?'   
+aJ8rzsrZ  
  cot(π-α)= -cotα 8_?[a]46P  
:)2 QkVBKT  
  公式五: snQ zTF!  
,5M!+Jyi  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 9$U5jy+@O  
KUJw? Vn  
  sin(2π-α)= -sinα [~FN7J!`V  
k-bQ.}  
  cos(2π-α)= cosα +G9g'\  
2#9AD=   
  tan(2π-α)= -tanα b6n{T#  
X:yx7YI2  
  cot(2π-α)= -cotα 7dFy v:j  
Q<Z!Fr(}pC  
  公式六: cF+UPYTiS  
]] 4H3  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: jOb3I},A  
h3D:lSul   
  sin(π/2+α)= cosα +YbNppq  
{3Dy+iqzV  
  cos(π/2+α)= -sinα 2/fca}j  
b`}Lrn@#  
  tan(π/2+α)= -cotα $Owu,by  
ExTd?&^k  
  cot(π/2+α)= -tanα i&pY  
4ga0iA4  
  sin(π/2-α)= cosα <kk U=[dt  
AtmJ1dYlJ  
  cos(π/2-α)= sinα I;\kP+bP  
(_~$Ys  
  tan(π/2-α)= cotα Q;=ljR v  
sw_}Va<1  
  cot(π/2-α)= tanα 6F._tX^  
teBnDBzAYw  
  sin(3π/2+α)= -cosα .S>KX."j  
lpk6"a  
  cos(3π/2+α)= sinα gJ:dg'`}  
3Fg_ ri5  
  tan(3π/2+α)= -cotα H x Bs+GT  
Y dVCKw  
  cot(3π/2+α)= -tanα +>`Ow f v  
8e1UzVZ2  
  sin(3π/2-α)= -cosα n3ZXu [wx  
)N*X:Qk X  
  cos(3π/2-α)= -sinα u*:>\7  
@q~]nP5)hL  
  tan(3π/2-α)= cotα Y`=:edVuF  
/BV14WY&  
  cot(3π/2-α)= tanα 8[}y|ZVC  
GXxsuf  
  (以上k∈Z) "/:h[CVxh  
gu+N,{x.,  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 E ~Y}Fth  
U\hPdU)dJ  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #$R@I[umt`  
u%*HTAF"  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } -]Xu|*i2  
A@fq, M  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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