三角函数内容规律 o|$)*(+?
f4Jx04
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %N%-4+g8\
"
>H
qX
1、三角函数本质: zA ^Z[b
E
0TF_
三角函数的本质来源于定义 IER5%[{g`
\D9PZ-Wn^
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 X(:\m
['
8(3+Jxdx
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ]oGoGsL
bf4;yYne
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: T!Y5-HykLw
dyAlEvZ
推导: ^b>SN!
(?
ZU+X8
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 RbDG32:
W5-S{$o
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0c|3[FZ
2
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) TN<,l
b->MnB,
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 7k,Nf&ge8
<{-RA3,NY
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) mg `yc3K
%S@mfTp
[1] __RK-~
P2FHU
#E 8
两角和公式 !:g^=yaH
VJ*b@`g
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB *`@.uI
^@2Bql}_
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ,
dsQ`
&d%Nr.JYC
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ?Z)\,Fe(
6ZU Xv5 |
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zV: @Z'Q
p+8&31
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M!7]@q)
j[%yU7`
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >p1zs
yx'u*&
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) uN&@gj
]
6S&4#A1TgB
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) /`mKmJ[j
X%N-5I}0
倍角公式 %F8>D7zw
SRP
/(;C
Sin2A=2SinA•CosA TEDWup
HdL%kI9p$
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 NU=#[2>
7
c,.>]#
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 7 L$&cZ@
}l},=^v
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 1"J(uD
v-=o$Bfh1
三倍角公式 D~SZ4(.
@0oacC_n
n
o
]3=0(_
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) eqBLpw}qCp
:0Rhau5
(
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -2:+9C#g
VI Tg,Z8c
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) za;L#l{r
#Tt}yz-aO
三倍角公式推导 >%lV;
qQ~Ws$fy
sin3a VBZyV;;d3
{Wa2-Qr
=sin(2a+a) 4~bS!k
mxwY^p';\
=sin2acosa+cos2asina
h8{
x@=){
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :4Y~}hJ?q
nRt!O8w
=3sina-4sin³a ~HB3Pd
U8 ow(bB
cos3a ;x3Zv
D<J'ZDb
=cos(2a+a) Abn'!.
NT/w8PW{'
=cos2acosa-sin2asina $\WPNWJoH
GSZM.3K3
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa XCpBDA3.u
CepL8+Q
=4cos³a-3cosa jHs`%~/p3
}-t?=b
sin3a=3sina-4sin³a + HN&%98
rE2Blyg
=4sina(3/4-sin²a) cU'Z;
-E6A52W d
=4sina[(√3/2)²-sin²a] G>U4kj
'`J+Lh@tu
=4sina(sin²60°-sin²a) f~Mw"M
5IV&"*f
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) } xB8
0:v
7'4Ah
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2$;Xdqz/M
FYdD<6:
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) )-V-'d6-
; Kph>;ha
cos3a=4cos³a-3cosa M3-/3Io
/h e=Wj
=4cosa(cos²a-3/4) H=#Zk
Gok55M~D
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 9s<@-`,4
EL'..ER
=4cosa(cos²a-cos²30°) ]xcc2xf^(
!5B#Fu~
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Jp$[6`>v
h-+0I^rXy
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~
p!}ppK
@fGIl`[ G
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *>$sHgC>M
v;kM6]tohN
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] F[k SVO
9^K3
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Jt\}..,s
z`c7OD:'
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) t*xD8<do
%|Mbo'?
上述两式相比可得 68vOdH-W
oReI&6 -z
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) >Fw)"6t7x>
?CteARy_
半角公式 (K|3'
MS$[~-wW
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,o
87M |
iS*L6'X
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. b9o?F
fel7%nA%
和差化积 _"`&~)<{;
5,F0nF>2
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?Uo;T
#
D:& >g4y
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1%ETj;c
sgP8"wf;
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D7{"aA
VRkrm\c4B
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P}MeFL
C=HkJ@
9g
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) l?-1'vkIl
oZrD/H~k
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;z#W;t
a d,H
积化和差 6
pp%Tp
w@
-6b+H
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] T~S<)G`}
?${+vxl
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 3`o@`0"M
aYJW
m!
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] (uq" j
(Jmgf[0
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *tEd!`R
$%#5z#
诱导公式 >2R<,+j5
qL8[;`;y
sin(-α) = -sinα |PY$YT[
[O+H._V
cos(-α) = cosα kdVb(s9M
FH5LrkYm
sin(π/2-α) = cosα EN%5j,rt
x:gBj
cos(π/2-α) = sinα < mWB~[qv
$gQ|>}DjZ
sin(π/2+α) = cosα 6n-O?8pc
kvYIp#Y@_G
cos(π/2+α) = -sinα ;uv}3'ZC
s/hzy<
sin(π-α) = sinα 2m^0!m32m
3E}P]J5
cos(π-α) = -cosα A[h2y
u
J<3,)5
sin(π+α) = -sinα FU6$fB
@n-}8moXa
cos(π+α) = -cosα a|S1
AQ)(
m
gMdg{~<j
tanA= sinA/cosA h$Z R!rFZ
wnqe
e~6
tan(π/2+α)=-cotα >z-|Ba<_
Ynk{1*Z<,
tan(π/2-α)=cotα i~Qu)JK
XQ`>HaWyq
tan(π-α)=-tanα )iG'U+E^
1a6IER^F/
tan(π+α)=tanα +ZY*$fE
U?:VB
Ti
万能公式 95g<NdpQ
Q3[ccnum
XT=
J^Mw*
}^AO
\Sx
其它公式 KR?36N0
:l.h8#4
(sinα)^2+(cosα)^2=1 6U&.[pN
Zu!5.MO
1+(tanα)^2=(secα)^2 J\Z<yn;:
d=4u&97i(
1+(cotα)^2=(cscα)^2 6(X'M):#
Y#*Zue
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "}q"0K,Z4b
HCkYB;
对于任意非直角三角形,总有 ^I-U]Q_?
el*{.X
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $1[M
{(^}_T
证: :BVp\D
oIU=L"AFS
A+B=π-C ,lO?"sk
eJ[7+<
tan(A+B)=tan(π-C) ]2Xs)vbG
dTx&&BKQ
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 0~$ibtS0
O?xKDo`j>
整理可得 DI_1nDcz.8
r0 U}:s
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p|)`*:
5 -{B6p
得证 +kYTk3nV
_%]+%=(EI
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3
H%tZ
R-$?oL
其他非重点三角函数 5 H4!FL=yQ
U,(B3[r
csc(a) = 1/sin(a) OiaIEBw
_v}Q&7N*e
sec(a) = 1/cos(a) !);1-6+
$ALM
B3PR*in
SSFu&r)zY
双曲函数 %(H] $
I4N!QQ2X
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1ha9]1
ORe
K;[N
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >slK}H#
d;XtK;
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =?+jZ Dy2
zT&e?yU
公式一: 2/ylqe|%
C&K*uX
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: K]\_3_%l
/bbh:$z+
sin(2kπ+α)= sinα ,p.~-|)
"8AlQ;
cos(2kπ+α)= cosα $=8YsO
6<+%5+KD)g
tan(kπ+α)= tanα #A0R*0DF
gJ"9a_}i
cot(kπ+α)= cotα ?_^#h,1`-
:cFp&k97
公式二: (8[PQ|;9
.P&Nx^:-]
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: g9vq1!w
8tpy{
0`z
sin(π+α)= -sinα LV:~MlvL"#
AQ"[Bn<
cos(π+α)= -cosα ?>tgMZ=
6K<_b&!iT
tan(π+α)= tanα C?!w5+
*#+JaQF\
cot(π+α)= cotα ~|g|Ba+
@qzSJX]9x
公式三: $_G)QYY4uW
2uFbz96s
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: v`&p}\PC
{lRH%KHt
sin(-α)= -sinα }$<GIPf
q;6hWdj-
cos(-α)= cosα 'w_MCjI1i
YRrO\
tan(-α)= -tanα T&*`>C.F
Wn@@Q)fKa
cot(-α)= -cotα Wl.x$nO
..G? !=
公式四: 5)Ly u
&NNZf|Ub8
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: eTuP45VaMw
RZ-26,!%~
sin(π-α)= sinα HRCwu2]6
lM+Q elZ
cos(π-α)= -cosα im4DL6E2
p}|@6v\u
tan(π-α)= -tanα !(?'
+aJ8rzsrZ
cot(π-α)= -cotα 8_?[a]46P
:)2
QkVBKT
公式五: snQ
zTF!
,5M!+Jyi
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 9$U5jy+@O
KUJw?
Vn
sin(2π-α)= -sinα [~FN7J!`V
k-bQ.}
cos(2π-α)= cosα +G9g'\
2#9AD=
tan(2π-α)= -tanα b6n{T#
X:yx7YI2
cot(2π-α)= -cotα 7dFy
v:j
Q<Z!Fr(}pC
公式六: cF+UPYTiS
]]4H3
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: jOb3I},A
h3D:lSul
sin(π/2+α)= cosα +YbNppq
{3Dy+iqzV
cos(π/2+α)= -sinα 2/fca}j
b`}Lrn@#
tan(π/2+α)= -cotα $Owu,by
ExTd?&^k
cot(π/2+α)= -tanα i&pY
4ga0iA4
sin(π/2-α)= cosα <kk U=[dt
AtmJ1dYlJ
cos(π/2-α)= sinα I;\kP+bP
(_~$Ys
tan(π/2-α)= cotα Q;=ljR v
sw_}Va<1
cot(π/2-α)= tanα 6F._tX^
teBnDBzAYw
sin(3π/2+α)= -cosα .S>KX."j
lpk6"a
cos(3π/2+α)= sinα gJ:dg'`}
3Fg_ ri5
tan(3π/2+α)= -cotα H x Bs+GT
Y dVCKw
cot(3π/2+α)= -tanα +>`Ow
f v
8e1UzVZ2
sin(3π/2-α)= -cosα n3ZXu[wx
)N*X:Qk
X
cos(3π/2-α)= -sinα u*:>\7
@q~]nP5)hL
tan(3π/2-α)= cotα Y`=:edVuF
/BV14WY&
cot(3π/2-α)= tanα 8[}y|ZVC
GXxsuf
(以上k∈Z) "/:h[CVxh
gu+N,{x.,
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 E
~Y}Fth
U\hPdU)dJ
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #$R@I[umt`
u%*HTAF"
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } -]Xu|*i2
A@fq,M
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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