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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 J1ur{J  
O<cdQaY1  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3>WLL[eZ3Q  
l `ggl3=q!  
  1、三角函数本质: 0 (o&1]A  
_T6Rt^[  
  三角函数的本质来源于定义 Nn2/f  
CHLvl  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Q8mmG/'Jm  
R+kA }Y*  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 %"|Ky3  
0=1jD|pA  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: rAhI=J7  
/'tVL b6  
  推导: vauoPU Q  
x8A+/utS  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 y,S^ je0?  
dq-n  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) *,]Sz[;  
m}6wnv`!B  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) `Wcz-O)  
k+_  .  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &+]{zo^  
S"Z&dv|.@*  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Uo7.r8Ue  
sIUAz|.[   
  [1] Ac#~y@:  
wL`KwmJI  
  两角和公式 NIAcuH  
thrbLPRA  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 8e+t+uTt  
.*fC&Z  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  an bM a U  
O}s 4j;Q  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 4j6E vi  
;=[_gpIh  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;Z UBI-  
5::R@]ja  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zO%aH|$F  
:B"\w(  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `gfz1:"  
CWrxYjr  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  yty_e  
Nt mV  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) PYZ:)87  
u g+ S  
倍角公式 ^?dmIZ  
"*U"K`v  
  Sin2A=2SinA•CosA ?p@vWob  
XHxxdo,G(  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~J,[6G'H  
AU&[E   
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) aH`WN3  
W#Utp gA  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) _Q!b%{4&  
. rH[Lh  
三倍角公式 Wp0eYk#0b  
Ww~'|z/=  
   Lq%r:z  
ed[8Zw1w;H  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \)1qvzI<nh  
7`w*H w  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) QYO}9Wq(  
6ds{Y8*U-  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) YY{Iyv@  
HgfI7^  
三倍角公式推导 MB1StiBqqa  
U`#!5 ~&  
  sin3a gF=D|0hRC  
h'sAD_J  
  =sin(2a+a) sRMw.B[  
mNma<M&\l  
  =sin2acosa+cos2asina [EqoEL1  
*y2Tf~xH  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina g(xK7^g  
#2Wr;T^  
  =3sina-4sin³a 2Ubrg(({I  
h\!=  
  cos3a mIk58IdLY  
Z?isE:*=U  
  =cos(2a+a) b 2E9  
,:hoGGu  
  =cos2acosa-sin2asina (zsul&)@  
~\rfL  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa uQjb*y7^  
'6T| ~u_p  
  =4cos³a-3cosa SK ^WaKQaq  
aNV21kc  
  sin3a=3sina-4sin³a 21;6Z$#D  
I,HvcnLin  
  =4sina(3/4-sin²a) GW,"8 *b  
)otOmi  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] &;5BDSb;  
6UPi+sC_Z  
  =4sina(sin²60°-sin²a) W @zWaWt  
QxgQ2*[_  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) do}mC$8  
y4dG#I1  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] MmjB7MaJ~L  
ee'hW~]t  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Z'b[`k f  
~_U gL`  
  cos3a=4cos³a-3cosa i$7~{`yC  
w{~ i*b;J  
  =4cosa(cos²a-3/4) b[7nm_$  
\2o^Sls  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] s$ H1u6  
7U DVK=)A  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) ";o<<U'&  
1mI"&P9  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) !X#|A@g{  
bZU<6_"  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Lp;}8W_x  
APKplr  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Lh:,b 3u  
3m 4s+tI  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] w yd'23  
pO 8-}v  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3{uqGMBWy2  
(u-=1!$  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) m;%^ kS/.j  
#qje)O|Z  
  上述两式相比可得 2V"%2a1\l  
#byb]J|8  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %H ;;`z Q  
9G 95)a  
半角公式 ?8q5n)?N  
mv~/bA  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -Xque}R+v  
i/F[@W[X@  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. cT$mE]#  
uLq}@o&  
和差化积 %"|W"TX   
hnq {A283(  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] eCAy* Zp}  
S!=?5"[W  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $ar_y a  
0p s6T3G  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pUw5#-3:  
w 4xvv d  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i(f?}[[#'P  
"h7 (H P.v  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1@"WL  
g Zeuh0H  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) VG9eEz/D  
+0t,yTJ{  
积化和差 V/;CmrH  
-J@2K:Y|<  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] [{_R  
, ]s+8D  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \'~={e{K  
BR T.yL  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] y_ ZMP ~  
scNyuz%  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] P%G-f3_  
jT>iLqV  
诱导公式 ?[s?-J  
''rc~dX^M  
  sin(-α) = -sinα <<[ 1Q^N  
yt4),i+m  
  cos(-α) = cosα `F !=  
j <>M^eF  
  sin(π/2-α) = cosα +73H^.L{V  
OM8A:6n  
  cos(π/2-α) = sinα TL:""W[CV  
~_JV.,  
  sin(π/2+α) = cosα jU5SiMo'  
s0r_>q  
  cos(π/2+α) = -sinα BCcg?s #  
$dy6@wm  
  sin(π-α) = sinα vsHU- b  
mrbP-0]   
  cos(π-α) = -cosα iy/\1Oe6x  
] 80 h9y  
  sin(π+α) = -sinα `EMwk/<D   
X`9Vj\4  
  cos(π+α) = -cosα .U9-Un  
M4'R80  
  tanA= sinA/cosA &bbZ VQ  
^}])m.| Dk  
  tan(π/2+α)=-cotα  x@{  
CfI,^\G  
  tan(π/2-α)=cotα >8ke0LvWIa  
 Pd(P7  
  tan(π-α)=-tanα ZBFXP}2vT  
A[}^~XfI#  
  tan(π+α)=tanα KOAm  
 }soC<-X  
万能公式 7 ~#JdE  
eC*Nfn|"]  
   E'PO%"INx  
2#m,iF9~  
其它公式 .(+SmMA  
v 61?3`  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 %P"cp#d3l  
rO+ ]9Z  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 s0bcd-  
S3'u\m@(;h  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 H`ih"  
#E&vKo+  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $lrr'~"  
Ca"\V-bc  
  对于任意非直角三角形,总有 EQo]d9"I@(  
!AyxO7xF6  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9|t%IFXsy  
sCA^G3Rx  
  证: :T$EPFke`  
CkdhN< .rC  
  A+B=π-C ITy#[#8_  
mAZ(C[F]  
  tan(A+B)=tan(π-C) M ADnBxgk  
u|M|(v:D@  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) K^<Dd(  
6oUE>QM  
  整理可得 cPP4_5U0ad  
.LA=xVyE  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V)60B/v  
Algfyl}vS  
  得证 x'C8z~=  
aQ,uC[*  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 t"7WW>g  
9'L#N-$j  
其他非重点三角函数 cS?! )SB  
^@ GPkSl  
  csc(a) = 1/sin(a) B 3'HT\*  
@o$%Z5dC  
  sec(a) = 1/cos(a) n0>WT>d   
VHh`G  
   zRnp?J_  
?WrF=Flp   
双曲函数 nd { 7{(F  
lDEZdv5A%  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 RxWcl  
D);Fa  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 rpbEe-)!H  
& .W*,  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Swfm,&  
#a>p&  
  公式一: pHj ap"=7  
~26 L(~ /=  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: NY%dZFwjT  
0ulX^JBd  
  sin(2kπ+α)= sinα :7F3Ci  
x(J rE>[  
  cos(2kπ+α)= cosα u >@s4C  
$g 9; H  
  tan(kπ+α)= tanα eT?:zGHU#k  
T[5nCl?>  
  cot(kπ+α)= cotα p Nob|  
 )~sku  
  公式二: m6eWm-  w  
h:l;Qk8\  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: kBEv@~i  
'V<A*  
  sin(π+α)= -sinα ZCRgK  
XsBdMLna  
  cos(π+α)= -cosα t49g15  
MD^58tN1  
  tan(π+α)= tanα Q 61@@g  
!Sh<J pwF  
  cot(π+α)= cotα TnW$;ik  
h!>"~g()V)  
  公式三: ~:E;c3  
e]=/  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: c4bA2e L  
)dy`g  
  sin(-α)= -sinα Qe4X.R Fi  
VDNL0 V9  
  cos(-α)= cosα b3l _:!n  
9K*fq  
  tan(-α)= -tanα 3Y=tzB? ?g  
.#?sPeco  
  cot(-α)= -cotα hybt\y~gdw  
w b>JM  
  公式四: *Z&f-k",  
4>mH$5BkI  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:  h KD/~Sk  
r aq=n% 2  
  sin(π-α)= sinα f?pFL  
z\V:Na{l  
  cos(π-α)= -cosα bTzk#M*Bj  
~c1cZs  
  tan(π-α)= -tanα 1](o/X7}  
o M9aove  
  cot(π-α)= -cotα b]9B_u<M]  
=ah]~L a  
  公式五: "rp_eb?/D  
O-.;  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: *s90kITO&  
7Tiv EZ  
  sin(2π-α)= -sinα k-$APS} Z  
okfrXvs  
  cos(2π-α)= cosα ;>Y>@)J  
}8wV3jT.K  
  tan(2π-α)= -tanα Y9}M'jGNsG  
P])=',|O  
  cot(2π-α)= -cotα ,FLsfg|]A  
Tw`'  
  公式六: YNSchsG+  
@7kgr]:FkK  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 59!fL 9g  
Xl"emiG9)  
  sin(π/2+α)= cosα 4bn8@xkW g  
ituT76oh  
  cos(π/2+α)= -sinα }6x}gmkK?  
#eO'!NR  
  tan(π/2+α)= -cotα gZ!nl>t  
u |y,M2g2  
  cot(π/2+α)= -tanα 0b/P \E"Z  
RI]b#a  
  sin(π/2-α)= cosα hLtQ kVy  
anO&UX2 :  
  cos(π/2-α)= sinα V q7E,(`q\  
Dz7d-B u  
  tan(π/2-α)= cotα K7uEB]I4  
]BMD/V_]  
  cot(π/2-α)= tanα OOku{vI}  
eb+9}=K/  
  sin(3π/2+α)= -cosα 6B6nv&F  
"H"HKeh1^$  
  cos(3π/2+α)= sinα kHe-7,  
v+@<\Osc  
  tan(3π/2+α)= -cotα 1"PE)u  
6=.[a  
  cot(3π/2+α)= -tanα U7bI=NhMC  
~X5<r?+>  
  sin(3π/2-α)= -cosα L\3*0X_D>5  
,7JQB  
  cos(3π/2-α)= -sinα `8aK {qv  
<VI>!18ai  
  tan(3π/2-α)= cotα Tp1|<gnHv  
eG>{c 5\  
  cot(3π/2-α)= tanα ;XFebk3`e  
KwAS>'  
  (以上k∈Z) B!Ve3m<  
-iO;Uo  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d-iqq  
j(:]h1s,  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ;SzTEk00?  
i)%~,  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #]+r?i?  
'wmu<N  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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