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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 k I*H%g   
b3:!!|Hdg  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. <YFec  
TO;)nq:/  
　　1、三角函数本质： IYKlB!  
& yU]  
　　三角函数的本质来源于定义 % )<?  
!GE?d[|VL  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4<U7^kOc  
o9jIMT4  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dzM<q/dtc  
%0R \icI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： L`OrJn~K^  
cA;wTt}nb  
　　推导： '}^ ({*$y  
P_#>WU4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  T-w)  
-e{pf ;2  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) XD9>1-  
Ud`>6MHJ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Isg]+x$-  
Q'-vPbk  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 \l6s~K s;  
\JOD6{Np  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 8N&o;cydL  
Evj)_w  
　　[1] )Cy`-m=  
0^h4sSFlAk  
　　两角和公式 zP P~4,  
*QQ4 ME;O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB w8+\Z7X  
H|RVNq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  z_)v*ja[H  
;BNiA_  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ES$<:^%  
9/T?#1xx  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zxk8r_  
t9tLT_P  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) p`jR9LL  
Da<=g  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) &Q4eBXR-  
rqWvW9[d  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  BXQgZi]1  
Y 5^,6!  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) IE}ADsY  
yl\g0 $  
倍角公式 oGKgZ5UW_  
;`N<`lsu  
　　Sin2A=2SinA•CosA <|mtC4lkkP  
^(D pTn(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 4 ~%qe)M  
xz+"Bj^m  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *k>q_8 Ix  
%Rw: /b  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） !C kGZK  
2X[e'  
三倍角公式 i]:A%l  
IFlk))mFz|  
　　 #a$]% MV  
'7hu3 r/u  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) vXa+ 7hf|  
)z|}/2  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) [elNt  
)GN />Y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) c31V2Rn:A  
=Sc4D(B7|P  
三倍角公式推导 l>]zHZ  
,?fa`p *  
　　sin3a !-;t=gx)  
weN '[  
　　=sin(2a+a) u20eTx(~  
8Z)c:TLV|X  
　　=sin2acosa+cos2asina $1e|TH=n)  
Y(CI.p5D*  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina fag&w!Y X  
[=c tj  
　　=3sina-4sin³a G4l J9!  
T;o++0  
　　cos3a hqj(( l%<  
D.5{-  
　　=cos(2a+a) .e;+@d}nn  
\!*B]M e  
　　=cos2acosa-sin2asina kjzw=.1jHf  
$MB~-[#`aV  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa pe dsB*  
0>kqrO  
　　=4cos³a-3cosa 9a<M>Z  
xYi'q'EH  
　　sin3a=3sina-4sin³a 4b"j=q  
qkk4N%  
　　=4sina(3/4-sin²a) {z!$ |-QK  
;62.o$@  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4:LstZTdu  
7Tm!eQ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) mJ!*v/ X'  
vd xB  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) AWGOt[hL  
abDWMa9  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Rv ,8L z  
>.i~r| (@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) x+* QQt~  
WhleVAE4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa OL*x?^K  
atBGI;<  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]D i,0<n  
9"c  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] }O` |6UF  
n;Z RQ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) wV4VtBF#  
\yC k'e   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \CU/OB  
4$i&/}-NH|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} VF.||b  
'lPz6dK  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 87\R>dUG  
CAC7MS2)  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 8 ^^d|]  
3kAf\w#4T  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @C;c-  
j@+Blc$(  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) cjyg17('  
0 yi_#kl/  
　　上述两式相比可得 @]S1?y>6@  
B 1lrD]J>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c8lfNXO`'S  
[iC,  
半角公式 NZ PG"~l  
6Ci-e|u?  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V}@BU/fjM  
wRN?nK r  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <6qKOW  
|f|#D_  
和差化积 HrycLP"  
R1Zdne[  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] T8 %/?6A  
@c"?F?[E  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /bf7m"fSD'  
.<s#DW\O~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] KnRD%,Z-  
SZqIi$2  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o9 Z}!R  
H9?;j&;y1  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) )b3pF@F  
IOjXIj{\C  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) s;4|IE  
|G6jr@]  
积化和差 $ejkF;lE?  
?dU >ADyO  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,s((m45I  
S[jm9D>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] YiYVi@u'  
ghCO!|`X=  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #O&,K:  
[ ? I9D  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] W+ q"pb  
/J29~E0  
诱导公式 z,)7A_c  
?WueE[]  
　　sin(-α) = -sinα yk`l53.  
5],V\Ke28  
　　cos(-α) = cosα wew7 &I  
}acVJA  
　　sin(π/2-α) = cosα d=5/L&(  
=~*@y8  
　　cos(π/2-α) = sinα (1kwHAE  
g= MU&63  
　　sin(π/2+α) = cosα {NVE mAf  
:]NcpVpPY  
　　cos(π/2+α) = -sinα $cJ|E,rRE  
Afy1Ty"  
　　sin(π-α) = sinα qmI 9+ ol]  
FMWNV ({  
　　cos(π-α) = -cosα -yiO%e+>f  
w*S8-  
　　sin(π+α) = -sinα 9#EEq"  
/"NlVY^N4  
　　cos(π+α) = -cosα Z83M3CCiL  
)/DnP$L9n  
　　tanA= sinA/cosA 9hF)#0UZz1  
1Cp 4'  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $2-6RMy=%  
F?,9I  
　　tan（π/2－α）＝cotα V">yL%)  
W\]7& V;  
　　tan（π－α）＝－tanα md}67{  
\`Si=iGBP  
　　tan（π＋α）＝tanα ?bliES{  
FvObs[  
万能公式 e PXDD||  
9LCsUC;C  
　　 KyhHQ*  
'VHBflT$`O  
其它公式 c;Hf%j9  
|J. G]%SS-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 AG{z3FjQ{1  
%9{f>  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2  =2?7Sm[  
E\dgA4B\  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 hR7 mEt;  
O()7w:Sg  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ?0yTP 3Z  
X%]RKhF,  
　　对于任意非直角三角形,总有 jT~.@Ml  
2_j1-YRW  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7l7G,`  
OO`|93}  
　　证: GYkxRV&a  
gi~5Df,l|  
　　A+B=π-C aN8E@6j  
*O2qu{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) *hfpP,~5^  
>#(Z?)  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Txme@^lq'  
eKKOi;u:  
　　整理可得 oJ=(uVm1y  
\cUDWN,7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  5x1pFa  
PK<ndoxUw  
　　得证 $-ed*v  
v<JK~D`A-  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 'v(rKJksV  
M5H ge  
其他非重点三角函数 @S{T]0mK  
krJa9,5U-  
　　csc(a) = 1/sin(a) lkfU^0X  
0R';oAF/  
　　sec(a) = 1/cos(a) N/2CX]  
M96849=&l  
　　 FDlu fZ  
pP |wbvt  
双曲函数 `ly+H8z  
G=(f=n{e<W  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 "F?<!Cpz~  
mk>gEi%xe  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h=42Sr&  
A/XM{ {  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &'m l?!U  
3z [c9aw;s  
　　公式一： uBz5)!NeJ5  
Vc`URt8xd  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： homyCHU  
$:)o|uJFq  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ~f5PPSf  
T{9S~El  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 3 IfY@  
L*GM@{&e)  
　　tan（kπ＋α）= tanα N}[r&&o{  
kG >0_;  
　　cot（kπ＋α）= cotα <^; r?!7  
q.b/yd%`  
　　公式二： PQZC*a<9y  
nJ[ [4#kQQ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： v}Nf\y&  
23PFe   
　　sin（π＋α）= -sinα ~*8]mAal  
e2!*V#.v  
　　cos（π＋α）= -cosα [KM#i:<t{  
)J eTx,  
　　tan（π＋α）= tanα caGb )H  
&k[H6Ja/  
　　cot（π＋α）= cotα `N\oK|4B)  
^|ItD%lz  
　　公式三： H^MT*ubc  
/F)?T   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： {EXY;A  
a &3=]k  
　　sin（-α）= -sinα LG5 5#9  
(fHjT*l  
　　cos（-α）= cosα TM-;u2  
3H@A]ZF  
　　tan（-α）= -tanα 47 O ).`G  
.9%ue4IG  
　　cot（-α）= -cotα ^<n~46Q+  
7_3U}0'kN  
　　公式四： p a xrWJA&  
W6jE>]=O%n  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6Emz@&g  
CsS`>Vi  
　　sin（π-α）= sinα ~Y0.gu@5  
DwKV**|{0=  
　　cos（π-α）= -cosα  J3ZRL X  
)kw&]w^7  
　　tan（π-α）= -tanα u7VpeG8  
s1P@BM-)o  
　　cot（π-α）= -cotα Hr1^Sy,69\  
Ut&moB#  
　　公式五： j$j]y0'tt  
QC1tG;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： p{:.l6[(R  
7n[oPkU  
　　sin（2π-α）= -sinα >"Djw9  
2=x`,$|A  
　　cos（2π-α）= cosα iD'11  
B(ZNErb  
　　tan（2π-α）= -tanα Kv[M_;(kb  
Fe\U.@h  
　　cot（2π-α）= -cotα e,wYN\X>  
' BtQg]  
　　公式六： 2([Us.75  
P_C0-6  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： OLElL!  
Bo2 +PS  
　　sin（π/2+α）= cosα #&hG!WS7  
pW8GDZz\*  
　　cos（π/2+α）= -sinα .[yh{>x ^  
s_0Oy|:  
　　tan（π/2+α）= -cotα 8Z}'@x5  
)dl<Z_V@oM  
　　cot（π/2+α）= -tanα N+lW.h%  
)4B;QA2  
　　sin（π/2-α）= cosα V)NCyo&<  
Ge0:w )/:  
　　cos（π/2-α）= sinα ^8Vp}6E~  
JW}s[C3  
　　tan（π/2-α）= cotα }(CLz%mX  
Fcp/k%'L`  
　　cot（π/2-α）= tanα gIWf(fwC?O  
9ZpN+q@  
　　sin（3π/2+α）= -cosα wp/:<2 8  
doK+eh  
　　cos（3π/2+α）= sinα f%y0z?n  
#XIcmy$H  
　　tan（3π/2+α）= -cotα T]/rvi; G  
bGpG~>;;  
　　cot（3π/2+α）= -tanα }w 'E,  
6>^v3  
　　sin（3π/2-α）= -cosα YyPS9Po=^  
qVD7Y@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 4N; _d)  
`8_L!eN*  
　　tan（3π/2-α）= cotα S(j*_k?TV[  
g9F9*u_  
　　cot（3π/2-α）= tanα H,r&Iekg  
)G}$~S  
　　(以上k∈Z) T8%}oi%?\  
1l*kI[z  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .ULM 6vR5  
"|& NW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 3ZMVLl2  
#h]\#P~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d@KI#r  
Oem)g i6  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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