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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 6&;nrnjOgG  
XNx|rCC|   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -Ax!A(ay"  
6(;jxn'9?  
　　1、三角函数本质： 57"~g%cYT%  
`4d QA1HP  
　　三角函数的本质来源于定义 Krf(G`'  
=] y ObUz  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0y&xM4{>h  
{>M>pvC@g  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 |W<,&,-C(1  
^,Fz:3$x  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7&'u^;MY  
xmCxGw3  
　　推导： wS$@TwR+  
8aG3M*yYy  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 #>e>2[}f*  
i }HKCd  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) iA+x3,w  
0x21%=  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  PiZ'*  
g 3V @!R  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I>hims=kD  
w Aj{W"4  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） A^LZI8l!  
nBfl0'p4Q#  
　　[1] k R#|:O  
GLW/ #3  
　　两角和公式 q'o&6kD5  
bR]b@ FaS  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'g 6x:<q_  
9\LH\Z  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  O3t `R kA  
;:0;:BFlPh  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ;s]$YJ3f*  
i0n4Md]  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 0] a(k  
cx,gz7M!  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) h!L{u7c  
}HB~tn`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) BpxW~2%Es  
7DbT-@1xk  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |r&7=cz!ZP  
?];a` u.  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s _q  
TLY[x[v1  
倍角公式 -lBXm.uey  
|LL2Ix   
　　Sin2A=2SinA•CosA \`{9o^M5  
I|dj_((= ~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 6QM0sX  
qvGa7 6pA  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?4.SDp$D*  
. Q HS-WR  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） rc; ^w  
Phocjmh_  
三倍角公式 QjI5uU-Es@  
8R.M}nT.  
　　 vt5; V+  
7eG[$i'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ia= G~5  
Jx]{glR%`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =R0EmZC.  
TL#{S  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ]y 3 Wq  
~W 4IM>3  
三倍角公式推导 O&.jc&S O  
V`.cR u  
　　sin3a &<"q`= 5  
Lza!ouL0/  
　　=sin(2a+a) 1#3 =<;d  
`> }g}Gu/  
　　=sin2acosa+cos2asina &`7'i |  
8 y{iD$:m  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina h!Dm 4  
&"9/F8-YK  
　　=3sina-4sin³a VD}Xi>KbJ  
M>*(h4s  
　　cos3a ub4hlvEt2  
$=N R>{:  
　　=cos(2a+a) 6WS[&1A  
~c6\7(8m  
　　=cos2acosa-sin2asina O_r/]qV  
\IXX2Q  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa q @uizB,  
= 1  $;  
　　=4cos³a-3cosa zY7u}J  
K,QT}:O  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2O3Ec7/9  
h : _rTtD  
　　=4sina(3/4-sin²a) =j_Lg  
5{.7 a]M  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] $_H@/_B^L  
[w3Nms  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) r0ef@3R.  
xk@( jR  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ?ysei)TDm  
9@` :`  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =8hoM.+1  
ZqiFUu&`s%  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) f.bR)/   
h(u&m*  
　　cos3a=4cos³a-3cosa G]%V&B  
3e]h N@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) "EO`PZ G  
$c 5};?my  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \gEN>   
RJ"32E.lM  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) z{T-Oys~  
;K{+!P-^l  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Sc*!Yo94P  
L:ZI I#   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #ZZq5W]x  
>:v 2]  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) xpbI';'  
uhyAzPBj%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] xX`hRLm=  
] jpV G0  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ykg &ofX  
As2X7~$Dx  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) dMGoD[L`  
M 8v:rN  
　　上述两式相比可得 *(dS2>0o  
WR]3J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?.WVp~4_f  
\ CHv%@"  
半角公式 vXBY"b]  
>+95sC|F  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); K3{- t  
h;[_ -?yl  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *M&/jl o  
=Sno16  
和差化积 *&tJ $%  
vd$#"< "  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fM6ckh  
c% ^\01  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] j-:mO909?  
b?VjMzx  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 29W68t}lg  
nKUDlDw6  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @21A*?u+  
FJG[Rg<@"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U-q8G0Bv1  
)<.0dxP2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) jX]%BT`lJ  
-=C1Fb?@  
积化和差 Y%n8"eO  
#EYKyibnJ\  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] tnAMmTX$  
wu&/#i;i  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] s_ibff  
lEEGO =2  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] NXpPzc>   
%WOc =]  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] .[ SZkb  
Fl# lH_bdw  
诱导公式 pGdWt\s  
=vuxL^  
　　sin(-α) = -sinα 3`XsIKZ#  
MxLsY_I  
　　cos(-α) = cosα I&mpR5A  
PN518in~;  
　　sin(π/2-α) = cosα \FI k  
mLD"qJhH  
　　cos(π/2-α) = sinα 9 E=6Jb,D  
[':(K<I  
　　sin(π/2+α) = cosα A?"dL_ Y  
9f17&pN  
　　cos(π/2+α) = -sinα XUDvtdF/  
^8qK^k  
　　sin(π-α) = sinα /Dn42WMFV  
X){Q!f  
　　cos(π-α) = -cosα ,zmdwdy  
?4i]9  
　　sin(π+α) = -sinα UaoHVh`p O  
S'dlV6 {  
　　cos(π+α) = -cosα /'MD\$>  
T ZIb/G-1^  
　　tanA= sinA/cosA 3D]R'@   
Jp{^&;?oH  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα I2i5aX^V  
D&|3"$Cx/R  
　　tan（π/2－α）＝cotα EI_<-Y  
T0}fhK/  
　　tan（π－α）＝－tanα ^lE`ug`-  
|Xz\` .  
　　tan（π＋α）＝tanα +F3s+ fTWv  
&/NFI;O~k  
万能公式 JfNH~2  
sY ;!Bwx/  
　　 32^}1"7,O  
'U.ZTrN;#  
其它公式 K,yC(zLno  
}/lvV84uA$  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $8&%3ETGb<  
H4es[,  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ,$M!+(Qzf  
ofh u%05  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 3u,)#RZs:  
9u$=vbhT  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7SjBF= 9  
-IRp$  
　　对于任意非直角三角形,总有 RBS&tCtQ  
Nc:y9 :]m%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %!*nFiDLP  
,9=b p  
　　证: uM-M@2H'b"  
PUe2Mkn  
　　A+B=π-C i[gA5uf  
Pf=b\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) $H<evk>  
3&!>Id  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) TOgQ$x`  
A (2|Jn  
　　整理可得 Z"B.3EQ^  
C}AE|v  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $4[T{'}  
gW*Iv#[   
　　得证 #H&j&Sy*  
YIAF>  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 nT%]sHW#{}  
] M@%yTaJ  
其他非重点三角函数 lU%r2"L:si  
]h|)<w  
　　csc(a) = 1/sin(a) CWgGjit0J:  
EDa&K.8  
　　sec(a) = 1/cos(a) Sj1s<RJ>  
 VwSAT  
　　 =}*)  
Q1_J ;C>  
双曲函数 #GTFXo;{  
D8anIO  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 C|^P~NT2  
gY ~glAC  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 9MPSu  
u;M8@;>V1  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hX)eVW8G  
CaHtp Y>*!  
　　公式一： *5Zk/*  
24LK9$  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： XL7X2g  
yErRx  
　　sin（2kπ＋α）= sinα }t>fg5  
z`z=P[3$B(  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :=:O]WA {  
_*D-UjqY  
　　tan（kπ＋α）= tanα q.N/+(.   
.^ J{S!  
　　cot（kπ＋α）= cotα Tp$[w[  
FjVg%  
　　公式二： h?"=%`q  
K|0%H='  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [itWD+an4f  
B1rtu 5  
　　sin（π＋α）= -sinα kQ/ Kqhmp)  
";}7>V}  
　　cos（π＋α）= -cosα tok (lu  
jE+D(oe  
　　tan（π＋α）= tanα F MZz$  
N*dl.D  
　　cot（π＋α）= cotα B6rIu4L g  
?:<s#:_3  
　　公式三： ,Q8M.BV3  
[03*+;Nd  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： T#u/t-N_  
fU3!kaJl  
　　sin（-α）= -sinα )=CQpg4!  
y_P7Qf*9k]  
　　cos（-α）= cosα sUoN8,9D0  
NMNrP8.a  
　　tan（-α）= -tanα ,q`(0t_;  
h#N__$wC  
　　cot（-α）= -cotα Eay@zWr  
3ik)s$C+X  
　　公式四： A"lB J P  
f.!)i9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： TH1  b2L  
U&I{LMo[   
　　sin（π-α）= sinα WK02tj  
pl/A0$  
　　cos（π-α）= -cosα Zmj`l oI  
XG-&$Z}:  
　　tan（π-α）= -tanα c> 25yE-  
S<c?!  
　　cot（π-α）= -cotα >"WnR<RD2  
Ign:N}?  
　　公式五： c[k"i=P]  
-u+q+",c-  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： tb"|o<NVH  
$ gjUE4A  
　　sin（2π-α）= -sinα j!}qycX  
dlgWJ6@=.C  
　　cos（2π-α）= cosα w@t bD  
JK\ \O~  
　　tan（2π-α）= -tanα S-T~QS)?  
No }h@"  
　　cot（2π-α）= -cotα Rkn^c(3o  
ItJ(b-8  
　　公式六： :j<:Cq<bo  
_at;Mi  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?g|MY^ nU  
URwcQJnZo  
　　sin（π/2+α）= cosα ;h-}s<3j  
(>"SVIH&  
　　cos（π/2+α）= -sinα /^:e+u27n  
+>z3"JQ\  
　　tan（π/2+α）= -cotα >oMs9X4t  
j"F< F  
　　cot（π/2+α）= -tanα Mx`5 T  
}D@k>=lya1  
　　sin（π/2-α）= cosα E6BUj0_YY  
_~%/EqHL  
　　cos（π/2-α）= sinα Cw7Zwcx{  
Y7[Rf {(.  
　　tan（π/2-α）= cotα ZdTEj7C-)  
{IP1+*E,Y@  
　　cot（π/2-α）= tanα |L1PP53n  
W|:d^i  
　　sin（3π/2+α）= -cosα b-{3 u[".2  
b' @>,kD&  
　　cos（3π/2+α）= sinα QBcE]6  
Q_4O*/y  
　　tan（3π/2+α）= -cotα %j.v&NO?  
Hq1Wa23Ue  
　　cot（3π/2+α）= -tanα @^4'Xz'  
Blz5&`_  
　　sin（3π/2-α）= -cosα }dHjgMN  
UQXl #p  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $Px.V gf  
vt6 RjVB  
　　tan（3π/2-α）= cotα  JdY}fa+  
m7  U'  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2S}]6@G1 N  
!M,tXNQ1  
　　(以上k∈Z) {)?*  
N9c1e)p4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 $7OdS0L![  
'W;L>!T :  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = r.Y*T0^p  
Ec-:V9ng\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } mqs"/xU  
=`&BiHz',  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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