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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 o<J{OZ?D  
S'xLjI, ~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. nHDck`*P3*  
#*'ba3W  
　　1、三角函数本质： 1N:ulr A  
A[y+>v  
　　三角函数的本质来源于定义 OwvDf B  
Y~4dT]5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 k>Tl`s j~  
}y+sz% N  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 t@FNRZ\  
j[_63:dL5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： )~+f`fROK&  
dJ }   
　　推导： )ov*e!pL  
|*FU4 ;Z0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 us}!iegR  
UfB`Q  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) . WaNZFli  
s;HkC\ 9  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) $9s=Z  
adV12|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CzxI*\bh  
VN 6yO  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Q^B/AAEY  
effp]:R  
　　[1] , >"""c!3N  
L:0qypJ/<  
　　两角和公式 ^&/ h93  
R \jBAi n  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'l`(8jxa  
58q/2EU  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  H acxvGaj  
jO'\PT0,?q  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB c.ax! "  
D6T127Iap  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l zUwVa3 L  
`.kj uf  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]DTbS[aFe  
gU&)bXk[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) t6_8U9  
`;n{Q$0  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ,eWxNuk  
N|)1G};  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ntNIO/  
B42Xn8MO  
倍角公式 e{)2KA  
?yCp\H6h}  
　　Sin2A=2SinA•CosA XQVIT`-;  
+4}WD$(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 W wR)I\5  
_$IUC_K8'  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .OY3g5/  
|6= bRQ0+  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _K{aFN@  
Say$5  
三倍角公式 r\1kF< $  
nwkQVB` a  
　　 V[4 L/  
nn0rZt Z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +qz[]P- S%  
* L sJ*u  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) %`KdR$OhL  
E9VRV( q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) A:):8H^F  
|7FxX6)iC  
三倍角公式推导 |KJ~wrtr&  
4mu?35G  
　　sin3a ikk9   
^{FQ2Q  
　　=sin(2a+a) (Ebk{pZ  
% Om!":W  
　　=sin2acosa+cos2asina mhY/la  
V\&Xm24<  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina lG,~-W  
ah@mJ>@EX  
　　=3sina-4sin³a |6;M<35O;  
sU0g V  
　　cos3a }FCh9u_z)  
4H6%}3  
　　=cos(2a+a) 8]:(OR`Q@  
B#)R0 ).6=  
　　=cos2acosa-sin2asina $_?h9d  
"(ca6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Jm=wfV:<Wt  
'Ef/viGJG  
　　=4cos³a-3cosa =o7" B  
^;K"\%R  
　　sin3a=3sina-4sin³a aV 9v(7Km  
/^?_8.  
　　=4sina(3/4-sin²a) @m=5YnV  
tTOIJ^6rO  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @N:MP=b  
g3j!1L."g  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) fTmFlp7^L[  
lN:H]7<]DZ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  sCRi  
]n?IJZAN`  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &FV! 6?  
E[.Dwfr  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0B`DsEv!  
yW< trn  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  >HAUwA  
YHYmzq=CT:  
　　=4cosa(cos²a-3/4) lfJpQ7{  
Nv9-Q^0X  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] gTN=^n,F  
eG<9.r  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) hX i/aeE  
F&|lO6Po3v  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Q>d$1 u)l  
BIR4B|By  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} rRVr?<[@7q  
K]W^ltK  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) -+DEhJ#-  
Rh)E7)  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] F;[d#xW  
xx#5E:;  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] yI*cnZ2  
Z m0H;p  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 'Wn0f)C  
PYh#yGl  
　　上述两式相比可得 }ATW  
uSi.^M  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) IqMEahr1  
0nm~zg5$  
半角公式 Jmji[NFF  
vO*t )H9P  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2rLd~}A  
Xz4gDgt&  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !MZ\ax$N  
Gd+3]jJK  
和差化积 6UO\3B/J  
 8Bu<iI-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 15?u&,D`  
ncp\(Qw[  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?sKf^$=?q  
2$zg ='%K0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `^Alp19z  
i-4?FT92?  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  $Sw@{R  
V}oIu:_h  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) _12,SY  
`?I;_O)"  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]w=X#>l  
A%,FE*pC  
积化和差 Q'1jY  
%NL3gP^  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~S~sNE'$0  
R~'Nj9N~  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )%R&j>6  
sD*23  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] HL(@8JyFi{  
G11z{BJ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5L`?t:yQ>)  
`Xl'J*  
诱导公式 )\ZH $r8  
8"$.dnbz  
　　sin(-α) = -sinα -|J}I&  
> zsZ2'  
　　cos(-α) = cosα |c2tC-#M  
4:Te*Jt{  
　　sin(π/2-α) = cosα CrH!zcHZ  
v0e*3  
　　cos(π/2-α) = sinα p=~_F<5d  
U;~{ysa-ha  
　　sin(π/2+α) = cosα p2aKe1.\  
^u4w.HEK  
　　cos(π/2+α) = -sinα ~{:_m]zL*  
CV^PY'G  
　　sin(π-α) = sinα XKX4&|J  
i5n=Mizb  
　　cos(π-α) = -cosα 6IsP 4  
$w>8~y  
　　sin(π+α) = -sinα *sQG>6  
3YU@E7.  
　　cos(π+α) = -cosα `O P0>aj8  
'5,>wg  
　　tanA= sinA/cosA  Szzm9B  
O}ZFRG=?j  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα M[8V)G{sqD  
c2QUsQ2O  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y`gP8v|  
|M'zDtj|  
　　tan（π－α）＝－tanα x:|Ht(+Em  
<&vE /cwj  
　　tan（π＋α）＝tanα [<*uZ/s  
n2*&Z r'h  
万能公式 +' r/n\  
L-\"xBV)  
　　 M 890~\7  
'}gmQ  
其它公式 #ya[DY=  
js<h0 D  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 y#_bU&z+  
Q`Hzi9ty  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 .3< {Fm\  
L t tLE  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 rg{UvzxW  
jG FRa^%  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 )k,`FHD  
d bH/>   
　　对于任意非直角三角形,总有 YL sQHrE  
WHlH*v1q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC E(z\o##3  
"v S3^-  
　　证: a77 >ZUT  
w <D"%K-G  
　　A+B=π-C _R `vp-[  
<,Uy59e  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Lza.*wR  
0l|0f6#Q~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) hky~,xa5  
B`YU Mt  
　　整理可得 o0FO{sG  
R9Oi]'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC f#e*Xm~>f  
.Vcrxwi  
　　得证 oBfP&3+>:  
: O BIX  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 S,HS=f(  
*U)x!G-{  
其他非重点三角函数 Ttw3*?K7  
J[K>b]y !  
　　csc(a) = 1/sin(a) 5"6Ts,.Y"  
-eKg^ c0U  
　　sec(a) = 1/cos(a) E F8B:  
~>W8tk k  
　　 l)m-DVakz  
Ev a7R2<^8  
双曲函数 OF[e\s>\w  
/z.I(]@  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,TF5Li  
Ps.Ov6H S  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 iG38|\Q+0  
4D;WX&-f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) OW<ZB=lN  
" Es]E+"  
　　公式一： )N"j|hK.  
=7b]7wuh^  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 4$3'9g>N  
s7Cg$Phb<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα VAng:&  
_2|1oZ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα tFB~::  
"&*@L&|Dl  
　　tan（kπ＋α）= tanα n|i \ 1}'  
Nk3\f7<  
　　cot（kπ＋α）= cotα %#I)>"Q#  
KVL$7:8  
　　公式二： F>Q#-/saG  
R.g_&_NG  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： },Ou+L^S  
`oCibx"w  
　　sin（π＋α）= -sinα 3 iuzCg  
zamw`2Bh+  
　　cos（π＋α）= -cosα x4B"5 :p  
{dhBB}  
　　tan（π＋α）= tanα 6 T^I'-PB  
?6!a(^.  
　　cot（π＋α）= cotα "L[zF&   
y\pIS0,:  
　　公式三： 9]#IZ"K{  
.~s.Jox},  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }"S}g=Bik+  
U@C Q+?z  
　　sin（-α）= -sinα VDw YA  
7 &/i3u  
　　cos（-α）= cosα D0pf]s0G  
f }tL $1C  
　　tan（-α）= -tanα Id0BOb"  
4G"-}-X0  
　　cot（-α）= -cotα  (bv~?  
3, 6J fi&  
　　公式四： L\vK]J X  
A6CZ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： %4Q r!M{x  
E9Iwa5p  
　　sin（π-α）= sinα L^Tg!m~Kh  
N(y:88  
　　cos（π-α）= -cosα x6vCS\.  
M5j:@iL  
　　tan（π-α）= -tanα J^]BVeF  
({pGU%h}#  
　　cot（π-α）= -cotα Lz,K"6Wmx)  
oN\ >STA  
　　公式五： aCa, PW C  
<>;,C/6uA  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： k*{A ;gZ  
u =ng](  
　　sin（2π-α）= -sinα y!(C0_;  
aC=7cg!oe  
　　cos（2π-α）= cosα hD- /{w%n  
8tx/<9&dN  
　　tan（2π-α）= -tanα .3^)8>u(  
J)y5yDC[  
　　cot（2π-α）= -cotα LM9C$h/(  
99*4K9s?  
　　公式六： Ayf *H]re  
!&I59sY8~  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： }?$#QA/%  
2zcvM=1   
　　sin（π/2+α）= cosα J.X'Li  
Rqz3&.Q&^  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;!;$!?%A  
@} ['mC  
　　tan（π/2+α）= -cotα eZ"L{-V  
RF]HQ_)s9j  
　　cot（π/2+α）= -tanα x+P(Ll,&;M  
.XyO'XjF  
　　sin（π/2-α）= cosα o bP=,~  
0,nn%29  
　　cos（π/2-α）= sinα ARCI,"yda  
>z-Ur   
　　tan（π/2-α）= cotα B/es<   
?kp% F-|  
　　cot（π/2-α）= tanα B vE"@ ^*  
xgOI{pv<Y1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα k(e-i/5^<<  
M3Jbjx!)  
　　cos（3π/2+α）= sinα $A3,BBF  
xvZV|t@vR=  
　　tan（3π/2+α）= -cotα b}^wa$2b  
<C">>:6c@e  
　　cot（3π/2+α）= -tanα T-c%op{nIZ  
'z"\Ee*H{u  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .|V@AP?P  
=t/t^WDCl  
　　cos（3π/2-α）= -sinα eKnqS4+  
;&R EUK  
　　tan（3π/2-α）= cotα pX9,EfFH  
r4g}B=4~  
　　cot（3π/2-α）= tanα dxO]i&Cq  
.\U=#8/|  
　　(以上k∈Z) P`r4]r  
n&EE #4L  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Qtx'1bdG  
4+s|<CR  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 9N]Jn5rxt  
h^s\m-vtYt  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } YjX*`UoBp  
](2(9sbB  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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