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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &G<*tbsQ  
;qAa!kJ|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. tIj~~S'  
or8jP-2?(  
　　1、三角函数本质： `B?(/3{*6  
= %Yt`uts  
　　三角函数的本质来源于定义 - H>*ky!  
9qK^=I27P&  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 `DRTow  
<J#z6 %  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 W 7=.-X:E  
2?wHrhat  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7'VTK~1g  
?5sw ^o(  
　　推导： Pq 9o7gAa  
q\F/5 g9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 fSVUk5;*8  
m7G`U  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) `nWv8{O  
hW9=^8ST  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) T0DwS]J  
!`RYxC,  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 l'Pl7Rq  
D)G4'm'Mo  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） qfI6Tkh  
ak%5T^s  
　　[1] Q} E -  
%m4aml* t  
　　两角和公式 U;{$ls(a  
Nze>35_\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (=*1w8  
CGg^'Su  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  , cU!.  
qFx~X-{n  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB =hn la<  
V%S %wziAj  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ql:TR/   
o.<'Wup1u  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 3Z= J;NBs  
l.l2sMkB{  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) CV~X3m{i  
G kK%' r,<  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~c+c)k@-  
DN"6,LV  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) <Bp\C>|<  
4ZeD-m  
倍角公式 V&!@m  
E,C U)  
　　Sin2A=2SinA•CosA O/}+#M6$  
ez/"+Znva%  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 e A~7gZ  
}veIGfmVg  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） U4X31eI  
<"?RY 0Sw  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Yo&t'l+dh  
jo2] }3kI  
三倍角公式 XpMf 6'L  
ucIH sQ  
　　 0QR =10  
Cj"Y/Cn  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) P.N#^F %  
59 5[ ju  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $@9 (uIw  
E{Xgf7KO~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) FvwV&+ O  
QQCw;:9+  
三倍角公式推导 +k71B-[  
CiB+t@}  
　　sin3a \DG[^E|/L  
IJ[c1fVc"  
　　=sin(2a+a) s&[#rh  
&LxUx&=  
　　=sin2acosa+cos2asina Z' g_?3kq  
dROpRv!=  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1 Qe( 6A  
zd }8V2#/  
　　=3sina-4sin³a o I3PG&h  
55w$WwA  
　　cos3a QHAc=&(Z  
cr:6YVM  
　　=cos(2a+a) /y;?aj2 [[  
9Rt}Vu=  
　　=cos2acosa-sin2asina Db]Qq{7  
~0cW!u\nM  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa bH3ZS:  
idK  
　　=4cos³a-3cosa 2:@nCb  
OW,}mavH  
　　sin3a=3sina-4sin³a pvv .=  
xlw}Bf  
　　=4sina(3/4-sin²a) i;"UZ/&  
{%pS9:Vc  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] +i<'[E  
jlY8Gu[w  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ?7]YP/)]x  
*vCW:)~c  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) FVFt1($4  
Bz Z@9!  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] X={IjES$q  
s}GDxfEMm  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) di <oH~Y  
CgibwN/b\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa d{)w*.  
5IS0d%A>B  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [#5$kMs!:"  
 8_Q~)79  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] j~$MzI  
~eM~i,   
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @16_MVBE  
?' sGH  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) af>O )m  
;S* -H\I  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} I1R`$0'  
8$6[NbeZs  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) R]@\)+/(  
A5oS&0(G  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] U8Su[lfI  
vT3Sh rK]  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] BPrZ<&]{  
OWjl;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 2dJO pe  
[BxJ;W  
　　上述两式相比可得 ,`]# <y|E  
v;*)ev  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) IL1cFVY  
SI/.oM%  
半角公式 @7u4> e&  
sIfR@Yb  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @*4{6m^k  
a>YhF  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. i(SBm\{  
=~}| )J!  
和差化积 c~B7-^]-  
:8k>(,X<  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 'R`AQY7  
i'\bv\HX  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ? UIm  
:L7lLPp  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9 w^yf[AKK  
ey"/-Y?k  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ; 1l f6F.  
G&6VW[s  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [P,S3  
ay6tfKq_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) F&j-Tos  
89~?[PG  
积化和差 eVFsj"  
}Rg3R7 X  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] (Ri;F=&Q  
5h{| pnU  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] bMn@i?  
.i5/Ezm\  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -vq6,W0  
8*Nt>}f  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (cXB~rgv  
ijuy\a  
诱导公式 v98OzG!K)  
tS1 Q0/P  
　　sin(-α) = -sinα vlJD< Sb!  
:XDo`-fw!  
　　cos(-α) = cosα FG)&%!G  
L4zhZ;k0v@  
　　sin(π/2-α) = cosα F 4 \~A  
#BH 2s-5i  
　　cos(π/2-α) = sinα #b`oJ,  
4%3cg FZ  
　　sin(π/2+α) = cosα |Q(NR+4vbQ  
[Tim]?  
　　cos(π/2+α) = -sinα LztfKE  
4?]G2B#m2  
　　sin(π-α) = sinα O1ne_W]z  
1"'iXi  
　　cos(π-α) = -cosα  no=up  
 i pBv  
　　sin(π+α) = -sinα I.u)J w#  
SxTA*4  
　　cos(π+α) = -cosα r` 8OnF:m  
hkV<y8  
　　tanA= sinA/cosA 1W1]c G`  
[#b F)\-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα den VQq)  
CU-@"\  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y39u!=m  
1!s"`pq!f  
　　tan（π－α）＝－tanα @=0W:sdJS  
k;`7=l[7  
　　tan（π＋α）＝tanα rCOrz|]#  
\*Nv&U d  
万能公式 )jh]$I!X S  
d9yK*{I A  
　　 -p'1yze  
())F E  
其它公式 p7Q!HGs  
OSbG~g:`  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,|W _=0W{  
aXCI,x=/  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 +^`+"U^_#  
f}''`In  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 3j)FMx#'  
yyda-q5kl  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 U*vMw(6CGz  
Fk\vCN(  
　　对于任意非直角三角形,总有 }EON,g)  
6~7_r@xK  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 65/ @nn  
O[SV'  
　　证: 7M?-!besR  
stMSlU9F  
　　A+B=π-C t`711U  
C_v1mjRdb  
　　tan(A+B)=tan(π-C) q3;tcx"  
{W.k 0*  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 3!Ej0E  
s/ "B$  
　　整理可得 \D X(]g\  
R`*-')t%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /!Y(qt{  
60gr5C1  
　　得证 4lsCkZ+K  
*}Mu,<f  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _{)J_D  
mScxe- 2  
其他非重点三角函数 38p=Pm2H  
}7EY; 63  
　　csc(a) = 1/sin(a) KX1M"N4@#  
Oyc}@_A  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5uA|%X  
GWQ#Uqy"*  
　　 k]r 9?PF  
f/4q4 kh  
双曲函数 {n&sqQy"p  
!uF"4FIP &  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 e V2tp@tC  
p SX>#>;g  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 lfEz8qC  
]la#q  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) gUR%A 0$t  
1=^TKu  
　　公式一： )9^pdhb5  
eo/v IR  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 5-.mOGW  
.G b{w6k  
　　sin（2kπ＋α）= sinα (.[ao<x  
tGzs |y0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα eWI `>l&  
z~q *^7</  
　　tan（kπ＋α）= tanα ~ic.DdyPB  
;aF[2 yd  
　　cot（kπ＋α）= cotα \Qk]'  
&h "H,  
　　公式二： i)7d _ XK  
_(vMnbB  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Kxj Ikvh  
9H>Lw|${n  
　　sin（π＋α）= -sinα =s({'DvrB1  
bL=5.te  
　　cos（π＋α）= -cosα ]VD e=c*  
|+igcW F  
　　tan（π＋α）= tanα BHZ[Ctp&)  
'vE KO  
　　cot（π＋α）= cotα r y9dvCI  
gym`>ohv  
　　公式三： "9qvT-B8  
$PQ\qbF|e  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "KR[}Nkn  
8o95B gs>  
　　sin（-α）= -sinα NTm(#/  
iLM2 V|ou#  
　　cos（-α）= cosα J:/}}];Y6  
e%F?1l &Hc  
　　tan（-α）= -tanα vQ< W4<  
?<`T0E  
　　cot（-α）= -cotα )G~v1"!  
Z&oYe{28  
　　公式四： { *j_  
g +)AbT  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： TFs%rc)'8H  
m\X}TK'0z  
　　sin（π-α）= sinα AhK$s9'/  
A2A ggnUl  
　　cos（π-α）= -cosα "_zbN(n2  
QO"x(KdZg  
　　tan（π-α）= -tanα /won+oCe  
V;~lg R,r'  
　　cot（π-α）= -cotα 2q283+Zn  
if0F%[  
　　公式五： :.( SD^  
%-Ab/ (j  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 9Yk]>vU  
pl|=?'cl  
　　sin（2π-α）= -sinα EuOjUk/h\Y  
7B@9ug@`)  
　　cos（2π-α）= cosα nB9SOn:  
6wL1$DB  
　　tan（2π-α）= -tanα pWwa~-~  
4TMCO(l  
　　cot（2π-α）= -cotα gEbq  
{WtG_4  
　　公式六： %`` j#FV@0  
Xy5~G~I  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *x*qQk4%*  
xusY)47  
　　sin（π/2+α）= cosα lg.'4O=z  
hiRa:gB   
　　cos（π/2+α）= -sinα qT& we[  
[x $p}(  
　　tan（π/2+α）= -cotα 87MGaF>  
9drQI;QG;  
　　cot（π/2+α）= -tanα AuzcwOZPr  
7Az4/ "*s  
　　sin（π/2-α）= cosα X] +3  
hgRl\U'K  
　　cos（π/2-α）= sinα Gz\$#p`  
"SWS]3:N*  
　　tan（π/2-α）= cotα rVtlTNfu  
rH9%;{o8j  
　　cot（π/2-α）= tanα :#!mwz'  
K-q\W8F  
　　sin（3π/2+α）= -cosα N] A#@k  
8 AwW`N%  
　　cos（3π/2+α）= sinα %l]%\s4N  
|x8ONkTL--  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 1Q}H+`b  
Ik'+>r'A  
　　cot（3π/2+α）= -tanα "=M'I[Dn~  
4P aBcYn  
　　sin（3π/2-α）= -cosα PYN n2 |  
fWCE)f%+g  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #?^~~L8  
h(R< cBo6l  
　　tan（3π/2-α）= cotα k;}2->J7  
kx0Xc_HZ9  
　　cot（3π/2-α）= tanα _Drj:BQ  
3 ;2hzI5c  
　　(以上k∈Z) yL&8H'  
4^y?p&DJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 SneV(  
G DsM  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = tXa-B\"`a  
5[o#|ab  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3UuZm:~{E  
gWo);  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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